2.1 भूमिका

कक्षा IX में, आपने एक चर वाले बहुपदों (polynomials) एवं उनकी घातों (degree) के बारे में अध्ययन किया है। याद कीजिए कि चर x के बहुपद p(x) में x की उच्चतम घात (power) बहुपद की घात (degree) कहलाती है। उदाहरण के लिए, 4x + 2 चर x में घात 1 का बहुपद है, 2y - 3y + 4 चर y में घात 2 का बहुपद है, 5x की घात 3 - 4x की घात 2 +x - √2 चर x में घात 3 का बहुपद है और 7u की घात 6 - 3/2u की घात 4 + 4u की घात 2 + u - 8 चर u में घात 6 का बहुपद है। व्यंजक 1/x-1, √x+2, 1/x की घात 2+2x+3 इत्यादि बहुपद नहीं हैं।

घात 1 के बहुपद को रैखिक बहुपद (linear polynomial) कहते हैं। उदाहरण के लिए, 2x - 3, √3x + 5, y+ √2, x - 11/2, 3z+4, 2/3u + 1, इत्यादि सभी रैखिक बहुपद हैं। जबकि 2x + 5 - x की घात 2, x की घात 3 + 1, आदि प्रकार के बहुपद रैखिक बहुपद नहीं हैं।

घात 2 के बहुपद को द्विघात बहुपद (quadratic polynomial) कहते हैं। द्विघात (quadratic) शब्द क्वाड्रेट (quadrate) शब्द से बना है, जिसका अर्थ है 'वर्ग'। 2x की घात 2 + 3x-2/5, y की घात 2 - 2, 2 - x की घात 2 + √3x, u/3 - 2u की घात 2+5, √5v की घात 2 - 2/3v, 4z की घात 2 + 1/7, द्विघात बहुपदों के कुछ उदाहरण हैं (जिनके गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं)। अधिक व्यापक रूप में, x में कोई द्विघात बहुपद ax की घात 2 + bx + c, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a बराबर नहीं है 0 है, के प्रकार का होता है। घात 3 का बहुपद त्रिघात बहुपद (cubic polynomial) कहलाता है। त्रिघात बहुपद के कुछ उदाहरण हैं:
2 – x की घात 3, x की घात 3, √2x की घात 3, 3 - x की घात 2 +x की घात 3, 3x की घात 3 - 2x की घात 2 + x - 1
वास्तव में, त्रिघात बहुपद का सबसे व्यापक रूप है:
ax की घात 3 + bx की घात 2 + cx + d,
जहाँ a, b, c, d वास्तविक संख्याएँ है और a ≠ 0 है।

अब बहुपद p(x) = x की घात 2 - 3x - 4 पर विचार कीजिए। इस बहुपद में x = 2 रखने पर हम p(2) = 2 की घात 2 - 3 × 2 - 4 = - 6 पाते हैं। x की घात 2 - 3x - 4 में, x को 2 से प्रतिस्थापित करने से प्राप्त मान '-6', x की घात 2 - 3x - 4 का x = 2 पर मान कहलाता है। इसी प्रकार p(0), p(x) का x = 0 पर मान है, जो - 4 है।

यदि p(x), x में कोई बहुपद है और कोई वास्तविक संख्या है, तो p(x) में x को k से प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त वास्तविक संख्या p(x) का x = k पर मान कहलाती है और इसे P(k) से निरूपित करते हैं।
p(x) = x की घात 2 -3x - 4 का x = -1 पर क्या मान है? हम पाते हैं :
p(−1) = (-1) की घात 2 –{3 × (-1)} - 4 = 0
साथ ही, ध्यान दीजिए कि p(4) = 4 की घात 2 - (3x4) – 4 = 0 है।

क्योंकि p(-1) = 0 और p(4) = 0 है, इसलिए -1 और 4 द्विघात बहुपद x की घात 2 - 3x - 4 के शून्यक (zeroes) कहलाते हैं। अधिक व्यापक रूप में, एक वास्तविक संख्या k बहुपद p(x) का शून्यक कहलाती है, यदि p(k) = 0 है।

आप कक्षा IX में पढ़ चुके हैं कि किसी रैखिक बहुपद का शून्यक कैसे ज्ञात किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि p(x) = 2x + 3 का शून्यक k है, तो p(k) = 0 से, हमें 2k + 3 = 0 अर्थात् k = -3/2 प्राप्त होता है।

व्यापक रूप में, यदि p(x) = ax + b का एक शून्यक k है, तो p(k) = ak + b = 0, अर्थात् k =-b/a होगा। अतः, रैखिक बहुपद ax + b का शून्यक -b/a = -(अचर पद)/xका गुणांक है।

इस प्रकार, रैखिक बहुपद का शून्यक उसके गुणांकों से संबंधित है। क्या यह अन्य बहुपदों में भी होता है? उदाहरण के लिए, क्या द्विघात बहुपद के शून्यक भी उसके गुणांकों से संबंधित होते हैं?

इस अध्याय में, हम इन प्रश्नों के उत्तर देने का प्रयत्न करेंगे। हम बहुपदों के लिए विभाजन कलन विधि (division algorithm) का भी अध्ययन करेंगे।

2.2 बहुपद के शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ

आप जानते हैं कि एक वास्तविक संख्या k बहुपद p(x) का एक शून्यक है, यदि p(k) = 0 है। परंतु किसी बहुपद के शून्यक इतने आवश्यक क्यों हैं? इसका उत्तर देने के लिए, सर्वप्रथम हम रैखिक और द्विघात बहुपदों के आलेखीय निरूपण देखेंगे और फिर उनके शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ देखेंगे।

पहले एक रैखिक बहुपद ax + b, a≠ 0 पर विचार करते हैं। आपने कक्षा IX में पढ़ा है कि y = ax + b का ग्राफ (आलेख) एक सरल रेखा है। उदाहरण के लिए, y = 2x + 3 का कि ग्राफ बिंदुओं (-2, -1) तथा (2, 7) से जाने वाली एक सरल रेखा है। सारणी -
x -2, 2
y = 2x + 3 -1 7

आकृति 2.1 से आप देख सकते हैं कि y = 2x + 3 का ग्राफ x-अक्ष को x = -1 तथा x = - 2 के बीचो बीच, अर्थात् बिंदु (–3/2,0) पर प्रतिच्छेद करता है। आप यह भी जानते हैं कि 2x + 3 का शून्यक –3/2 है। अत: बहुपद 2x + 3 का शून्यक उस बिंदु का x - निर्देशांक है, जहाँ y = 2x + 3 का ग्राफ x- अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।

व्यापक रूप में, एक रैखिक बहुपद ax + b, a ≠ 0 के लिए, y = ax + b का ग्राफ एक सरल रेखा है, जो x-अक्ष को ठीक एक बिंदु (–b/a, 0) पर प्रतिच्छेद करती है। अतः रैखिक बहुपद ax + b, a ≠ 0 का केवल एक शून्यक है, जो उस बिंदु का x-निर्देशांक है, जहाँ y = ax + b का ग्राफ x-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।

अब आइए हम द्विघात बहुपद के किसी शून्यक का ज्यामितीय अर्थ जाने। द्विघात बहुपद x की घात 2 - 3x - 4 पर विचार कीजिए। आइए देखें कि y = x की घात 2 - 3x-4 का ग्राफ किस प्रकार का दिखता है। हम के कुछ मानों के संगत y =x की घात 2 - 3x -4 के कुछ मानों को लेते हैं, जैसे सारणी 2.1 में दिए हैं।